■定積分の計算

◇微積分学の基本定理◇

 F ’(x)=f(x) が成り立つとき,関数 F(x) を関数 f(x) の原始関数という.このとき,次の関係が成立する.

【微積分学の基本定理】

f(x)dx=F(b) - F(a)

(証明)
 1次の近似式
F(xk) - F(xk - 1)=F ’(ck)Δxk=f(ck)Δxk
xk - 1ckxk
において,|Δxk| の最大値 |Δ|→0 のとき,ckxk に注意すると,

(左辺)= f(ck)Δxk


= { F(xk) - F(xk - 1) }


= F(xk) - F(xk - 1)

右図のように,中央部分が消え両端だけが残るから,
(左辺)=F(xn) -F(x0)=F(b) - F(a) (証明終)
※ なぜこの関係が「基本定理」なのか?

 もともと定積分(左辺)は,総和の極限として定義されており,直接計算すれば大変な計算量となる.

 f(xk)Δxk

 これに対して,微分は平均変化率の極限として定義され,
F ’(x)=

例えば,(x2)’=2x だから,その逆計算は 2xx2 のような簡単な式の変形である.

 この2つが等しいことが発見され,総和の極限は微分の逆計算により簡単に求められるようになった.このように,17〜18世紀のニュートンやライプニッツによる微積分学の基本定理の発見は,もともと別の道を歩んできた「積分」と「微分」を結びつけた大きな一歩となっている.(高校では,積分は微分の逆計算として導入されることが多いが,これは微積分学の基本定理のおかげである.)

◇不定積分とは◇

○ 関数 f(x) の原始関数は,不定積分とも呼ばれ f(x)dx で表わされるが,次のように積分区間の上端が変数 x となる定積分に等しい.

f(x)dxc は任意の定数)

任意の定数 c を省略すると,f(x)dx

これを,f(x)dx と書く.

○ 1つの関数に対する原始関数はただ一つではないが,それらの差は定数である.したがって,原始関数を1つ見つけると他の原始関数も求まる.(任意定数 C を足せばよい.)・・・(*→)
(*→)
関数 f(x) の2つの原始関数を F(x)G(x) とすると,
F ’(x)=f(x)G ’(x)=f(x) となり,
(F(x) - G(x))’=f(x) - f(x)=0
ゆえに,F(x) - G(x)=CC は定数)
○ 基本的な関数の不定積分
関数 f(x)=F ’(x) 不定積分 F(x)=f(x)dx

(任意定数 C を付けて使う)
定数 k kx
xk (ただし,k - 1)
log|x|
sin x - cos x
cos x sin x
ex ex
(簡単な例)

1次関数
  f(x)=ax+b → f(x)dx=x2+bx+C

2次関数
  f(x)=px2+qx+r → f(x)dx=x3+x2+rx+C

三角関数
  f(x)=sin(2x+3) → f(x)dx= - cos(2x+3)+C

  f(x)=cos(2x+3) → f(x)dx=sin(2x+3)+C

指数関数
  f(x)=e2x+3 → f(x)dx=e2x+3+C
◇部分積分法◇
 部分積分法は,積の微分法の逆計算で,元の形では不定積分を求めにくいときに,部分積分法を使えば計算しやすい形に変ることがある.

【不定積分】
u’v dx=uv - uv’ dx

【定積分】
u’v dx=uv - uv’ dx

(部分積分法の証明)
【不定積分】
 積の微分法により,
(uv)’=u’v+uv’
この式の両辺を x で積分すると
uv= u’v dx+ uv’ dx
移項すると,
u’v dx=uv - uv’ dx
【定積分】
(uv)’=u’v+uv’
の両辺を区間 axb で積分すると

uv= u’v dx+ uv’ dx
移項すると,
u’v dx=uv - uv’ dx
◇置換積分法◇
 置換積分法は,合成関数の微分法の逆計算で,元の形では不定積分を求めにくいときに,置換積分法を使えば計算しやすい形に変ることがある.

【不定積分】  x=g(t) とおくと

f(x) dx= f(g(t))g’(t) dt

【定積分】 x=g(t) とおくとき,a=g(α)b=g(β) ならば

f(x) dx= f(g(t))g’(t) dt


※ 実際の計算を行うには,この公式を暗記するのでなく,被積分関数,積分変数,(定積分の場合は積分区間)の各々を等しいものに変換すればよい.(右の例参照)
※ 不定積分で置換積分法を用いるときは,求まった関数を元の変数で表わしておく.

   (2x+1)3dx
------
2x+1=t とおくと,

   被積分関数は,(2x+1)3=t3

   =2 だから dx=

------
(2x+1)3dx = t3 = t3dt = +C

= +C



※定積分で置換積分法を用いるときは,積分区間が変換され,結果は新しい積分区間の下端と上端 α,β を用いた数値となるので,変数を何にするかということは考えなくてもよい.

  (2x+1)3dx
------
2x+1=t とおくと,x=01 のとき,t=13

   被積分関数は,(2x+1)3=t3

   =2 だから dx=

------
(2x+1)3dx = t3 = t3dt =

=10

◇広義積分◇

 積分区間の下端または上端が - ∞,∞となる定積分を次のように定め,広義積分という.

f(x) dx= f(x) dx…(1)


f(x) dx= f(x) dx…(2)


f(x) dx=a→ - ∞ f(x) dx…(3)


ただし,(3)では,a→ - ∞ と b→∞ の2つの極限は分けて考えて,

f(x) dx , f(x) dx

が両方とも存在するときにその和で定義されるものとすればよい.
(1)の広義積分が有限確定値となるためには,x → ∞ のとき f(x)0 でなければならない(必要)が,f(x)0 であっても
dx=log x - log a → ∞

のように無限大に発散するものもある.


f(x)=xk の形の関数については,
ア) k< - 1 のときは, f(x) dx=( - )

は有限確定値となるが,
イ) k> - 1 のときは, f(x) dx=( - )

は無限大に発散する.
ウ) k= - 1 のときは,上記のように,log x - log a となって無限大に発散する.(k= - 1 が境目となっている.)
 問題 
1. 次の積分を求めよ.

 (1)  e - x dx=- e - x=

 (2) dx= ( - )dx=log

   ここで,== だから

   log=

   (原式)=log
2. - ∞<x<∞ で定義される確率密度関数(統計では確率分布関数と呼ばれることが多い) f(x) は,任意の x に対して f(x)0 となる他,全事象の確率が1となることに対応して,次の条件を満たさなければならない.
f(x) dx=1

 以下の各式が確率密度関数となるように定数 A の値を定めよ.
 (1) f(x)=

     dx=1 となるように,定数 A の値を定める.

   f(x) は偶関数だから, dx=2A dx

   x=tan t とおいて置換積分を行うと,

   x=0→∞ のとき t=0 , = だから

    dx= = dt= だから

   A=

(2) f(x)=

    dx=1 となるように定数 A の値を定める.

   ex=t とおいて置換積分を行うと,
   x= - ∞→∞ のとき t=0→∞ , =ex=t だから

    dx= = dt

   (1)の結果を利用すると,A=



◇立体の体積◇

 右図1のような立体を x 軸に垂直な平面で切ったときの断面積を S(x) とすると,区間 axb にある立体の体積は,

V= S(x) dx

で求められる.

(解説)
 円柱や角柱などの柱状図形の体積は,(底面積)×(高さ)で求められ,右図2のように高さΔxx 軸方向に,x 軸に垂直な断面を底面積に選ぶと,この薄い柱状図形の体積は
ΔVk=S(xk)Δxk
となる.
a=x0<x1<x2<···<xn=b
で分割されたn個の区間について,これらの総和を求めると,

ΔVk=S(xk)Δxk
さらに,分割を細かくして,Δxk の最大値 |Δ| を限りなく 0 に近づけると,
V= ΔVk= S(xk)Δxk

は,定積分で表わすことができ,
V=S(x)dx
となる.
図1
図2
注意
 S(x) が断面積であっても,次の図のように断面が x 軸に垂直でなければ,
S(x) dx

は体積を表わさない.

 x 軸に垂直に切ったときの断面積を,x 座標の関数として表わすことが重要である.
 右図3のように,y=f(x) のグラフと x 軸,x=a , x=b の直線で囲まれる図形を x 軸のまわりに回転してできる回転体の体積は,

V=π {f(x)}2 dx

で求められる.
(解説)
x 軸に垂直な断面積は S(x)=π{ f(x) }2
となり,これを積分すれば得られる.

 y=x2 の曲線と x 軸,x=0 , x=1 の直線で囲まれる図形を x 軸のまわりに回転してできる回転体の体積は,

V=π {x2}2 dx=





 なお,右図4のようにドーナツ状に中空があるときは,中空の部分を取り除く.
 右図5のように x 軸の両側にある図形を回転するときは,x 軸から最も遠い線(右図では赤の破線)が残る.
図3
図4
図5
 問題 
(1) 次の答案は,底面の半径が r ,高さが h の直円錐の体積を求めたものである.空欄を埋めよ.

 円錐の頂点を x 軸の原点にとると,x における断面は円になり,その半径 y

y=x
となるから,

V=π {x}2dx=

(2) 次の答案は,半径が r の球の体積を求めたものである.空欄を埋めよ.

 球は対称形をしているから,0xr の半球の体積を求めて2倍することにする.
 右のように x 軸に垂直な断面で切ると x における断面は円になり,その半径 y

y=
となるから,

V=2π {r2- x2}dx=


◇曲線の長さ◇

 
○ 区間 axb における曲線 y=f(x) の長さを L とすると

L= dx

○ 区間 αt≦β において媒介変数 t を用いて定義される曲線

x=f(t)
y=g(t)
の曲線の長さを L とすると

L= dt

(解説)
x の増分 dx に対する yの増分を dy とすると,
dy=f ’(x)dx
だから,この微小区間 dx における曲線の長さ dL は,ピタゴラスの定理により
dL= =
=dx
両辺を区間 axb において積分すると,

L= dx


 曲線 y= (0x1)の長さを求めよ.
(答案)
 y’=

だから

 L= dx= dx

= dx = dx =

=(e - )



※曲線の方程式が媒介変数で表わされているときは,
dL= =
= dx
より,
L= dt
が得られる.


 半径が a の円を直線上で滑ることなく回転させたとき,円周上の1点が描く軌跡はサイクロイド曲線と呼ばれ,
x=a(t - sin t) , y=a(1 - cos t)  (0t2π,a>0
で表わされる.
 この曲線の長さを求めよ.
(答案)
=a(1 - cos t) , =asin t

L= dt

=a dt

半角公式 cos t=1 - 2sin2 を用い,0t2πのとき0≦π に注意すると, sin0

L=2a sin dt= - 4acos =8a

※円周の長さには, 2πa という形で無理数πが登場するが,サイクロイドの長さは,半径の整数倍 L=8a となるのは興味深いなお,サイクロイドの面積は円の3倍になる:S=3πa2

○===メニューに戻る