■積分の定義

◇面積とは何か

(考え方の要点)
 面積は自然物のように初めからあるのではなく,人間が定義するものである.
 A は2次元の図形,m(A) は図形にその面積を対応させる関数とするとき,関数 m(A) は次の性質をもつ.

(1) m(A)0
(2) m()=0  (は空集合)
(3) AB= のとき m(AB)=m(A)+m(B)

 面積を表わす関数 m(A) は,さらに次の性質を持つものとする:
(4) 長方形 R については,m(R)=ab
 上の性質を前提とすれば,例えば次のような常識(?)も証明可能な定理となる.
CD ならば m(C)m(D)
(∵)
 集合 C のうち D でないものを C - D で表わす.(参考までに,C+D という記号は使わず,和集合は CDと書く.)
(C - D)D=C=(C - D)D だから
m(C)=m(C - D)+m(D)
m(C) - m(D)=m(C - D)0
○ 左の性質(1)(2)(3)を満たすものの例
 A を事象とし,p(A) を事象 A が起こる確率とすると,
(1) p(A)0
(2) p()=0  (は空集合)
(3) AB= のとき p(AB)=p(A)+p(B)

確率については,さらに
(4) p(A)1 が成り立つ.
○ 左の性質でA は3次元の図形,m(A) は図形にその体積を対応させる関数とするとき,(4)は次の形になる.
(4) 直方体 R については,m(R)=abc

◇曲線で囲まれた図形の面積◇

 右図のように,区間 axb において,関数 y=f(x) がつねに正のとき,区間 axb において,関数 y=f(x),直線 x=ax=b および x 軸で囲まれた図形の面積を S とすると,

(1) 左端の図から,
m(b - a)SM(b - a)

(2) 2分割したときは,中央の図から,
m1(c - a)+m2(b - c)SM1(c - a)+M2(b - c)

(n) 分割を細かくしていくと,
m1(x1 - a)+m2(x2 - x1)+···+mn(b - xn-1)
SM1(x1 - a)+M2(x2 - x1)+···+Mn(b - xn-1)
となるが,この右辺と左辺との差は,
(右辺)-(左辺)=Σ(Mi - mi)(xi - xi-1)
Mi - mi の値のうち最大のものを d とおくと,
Σ(Mi - mi)(xi - xi-1)≦Σd(xi - xi-1)=dΣ(xi - xi-1)
=d(b - a)
は,d0 のとき,0 に近づくから,右辺と左辺は一致し,この値が図形の面積 S となる.
※ 小学生のときに,次のような地図から島の面積を求めることがある.塗りつぶされている方眼の数を数えて面積とするのであるが,縦横の線を細かくひけば,もっと正確な値を求めることができる.(半分以上塗りつぶされている方眼を数える(四捨五入する)など近似の精度を上げる工夫もあり得る.)

◇定積分の定義◇

 右図のように区間 axb をn個に分割し,
a=x0<x1<x2< ··· <xn-1<xn=b とする.
 また,小区間 xi-1xxi の幅をΔxiとし,Δxi の最大値を|Δ|とおくとき,区間 axb における関数 f(x) に対して次の極限値を定積分という.

【 定積分の定義 】

f(x)dx= f(ci)Δxi


※ この定義自体の練習を行う場合を除いて,この定義を用いて直接計算することはない.

※ 区間 axb において f(x)0 のとき,この式で定まる値を面積とする.
 f(x) が必ずしも正または0 と限らない一般の場合,この式を定積分の定義とする.

※高校までは,区間 axb をn等分に分割するものとしていたが,上の図のように必ずしも等分でない分割でもよく,区間の幅の最大値|Δ|が0 に近づけばよい.

◇定積分の基本的性質◇

 次の関係が成り立つ.

(1) 【 積分変数に依存しない 】

   f(x)dx= f(t)dt

(2) 【 線形性 】

   kf(x)dx=k f(x)dx

   { f(x)+g(x) }dx= f(x)dx+ g(x)dx

   { pf(x)+qg(x) }dx=p f(x)dx+q g(x)dx

(2) 【 積分区間の性質 】

   f(x)dx= - f(x)dx と決める.

このとき,

   f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx



秋の奈良

◇重積分の定義◇

 右図のように,xy 平面上の領域 K をn個の微小領域に分割し,各微小領域 Ki 内の任意の1点を Pi ,微小領域の面積を ΔAiΔAi の最大値を Δ とすると,f(Pi )ΔAi は底面積×高さとなって右図下のような角柱の体積となり,これらの総和 Σf(Pi )ΔAi は右図のような立体(山)の近似値となっている.
 xy 平面上の領域 K における2変数関数 f(x , y) の定積分,すなわち重積分を次のように定義する.

【 重積分の定義 】

f(x , y)dxdy= f(Pi )ΔAi

(解説)
 立体の体積を V,微小領域上の立体の体積をVi とおくと
miΔAiViMiΔAi
ΣmiΔAi≦ΣVi≦ΣMiΔAi
ΔAi の最大値 |Δ| が 0 に近づく極限において,左辺と右辺の極限値が一致するとき,その値を体積とする.
 f(x , y) が必ずしも正または0 と限らない一般の場合については,符号付きで体積を表わすこととなるが,この式を重積分の定義とする.




※ 角柱の底面積ΔAiΔxΔy と考えると,
ΔAi0 に対応して,ΔxΔydxdy と書くことができる.

◇重積分の基本性質◇

 重積分は次の性質をもっている.

【 線形性 】

   { f(x , y)+g(x , y) } dxdy

= f(x , y)dxdy+ g(x , y)dxdy



   k f(x , y) dxdy=k f(x , y)dxdy



【 加法性 】
 2つの領域 KH が重なる部分がないとき:
すなわち,KH=φ のとき,

   f(x , y) dxdy= f(x , y) dxdy+ f(x , y) dxdy


[加法性] 各々の体積を加えると,全体の体積になる.
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