■増減表

◇1変数関数の増減表◇

※ このページでは,関数 f(x) f ’(x) が連続なものを扱う.したがって, f ’(x) の符号が変化するときは,必ず f ’(x)=0 となる点が存在する.

1.[増加,減少の定義]
○ ある区間 axb 内の任意の値 x1 , x2 について,
x1 < x2 ならば f(x1) < f(x2)
が成り立つとき,関数 f(x) は区間 axb において(単調)増加であるという.
○ ある区間 axb 内の任意の値 x1 , x2 について,
x1 < x2 ならば f(x1) > f(x2)
が成り立つとき,関数 f(x) は区間 axb において(単調)減少であるという.


2.[導関数を用いた増減の判定]
 (単調)増加及び(単調)減少は,異なる2つの値 x1 , x2 に対する関数の値を比較して得られる性質であるので,原理的には1点の値 f(x) f ’(x) のみによっては判断できないものであるが,1つの区間 axb において f ’(x) が常に正であるならば,この区間で(単調)増加であることを示すことができる.(平均値の定理を用いて証明される.)
 同様にして,1つの区間 axb において f ’(x) が常に負であるならば,この区間で(単調)減少であることを示すことができる.
○ ある区間 axb 内で
つねに f ’(x) > 0 → (単調)増加
○ ある区間 axb 内で
つねに f ’(x) < 0 → (単調)減少


3.[極値の定義]

○ 関数 f(x) について x=a のまわりで,つねに
f(a)>f(x) , (xa)
となるとき,f(x)x=a極大であるといい,f(a)極大値という.
 極大となるところ x=a では,関数 f(x) が増加から減少に変化し,
f ’(a)=0
となる.その前後では f ’(x)符号は正から負に変化する.

○ 関数 f(x) について x=a のまわりで,つねに
f(a)<f(x) , (xa)
となるとき,f(x)x=a極小であるといい,f(a)極小値という.
 極小となるところ x=a では,関数 f(x) が減少から増加に変化し,
f ’(a)=0
となる.その前後では f ’(x)符号は負から正に変化する.
○ 極大値と極小値をまとめて極値という.

○ 極値f ’(x)=0 でかつ f ’(x)符号が変化する [右図1]
f ’(x) の符号が正から負へ変化:極大値
f ’(x) の符号が負から正へ変化:極小値
○ f ’(x)=0 でも f ’(x)符号が変化しないとき [右図2]
極値でない

※ この章では増減表を用いた極値の調べ方を解説したが,後の章で増減表を用いない極値の調べ方にも触れる.(2変数関数についても同様)
 極大の前後では, f ’(x) が正から負に変化してあり,極大のところでは f ’(x)=0 となる.
x   a  
f ’(x) 0
f(x) f(a)
図1
図2

※ 高校以来学んでいるように,極大・極小はその点のまわりだけの性質で,一定の区間で一番大きい,小さいを表わす最大・最小とは別のものである.
 極大であっても,最大である場合も,最大でない場合もある.


◇2変数関数の増減表◇

1.[2変数関数の極値]

○ 2変数関数 f(x,y) について,点 (a,b) のまわりで,つねに
f(a,b)>f(x,y) , (x , y) (a , b)
となるとき,f(x,y)(a,b)極大であるといい,f(a,b)極大値という.
 極大となるところでは,=0 , =0 となり,各々増加から減少に変化する.

○ 2変数関数 f(x,y) について,点 (a,b) のまわりで,つねに
f(a,b)<f(x,y) , (x , y) (a , b)
となるとき,f(x,y)(a,b)極小であるといい,f(a,b)極小値という.
 極小となるところでは,=0 , =0 となり,各々減少から増加に変化する.

○ 1変数関数のときと同様に,極大値と極小値をまとめて極値という.

※ 峠を越える道路は通常,右図5の青で示した経路となる.青で示した方向で x 座標だけが変化するとすると,この道路は各 y の最小値を取りながら山を越えるようになっている.特に鞍点(峠)では, y 方向に見れば極小,x 方向に見れば極大となるが,2変数関数としては極値でない.(これよりも大きいところも小さいところもある.)

 右図6に示した点(一人掛けソファーの中心部)も=0 , =0 であるが極値ではない.
図3
図4
図5
図6
 問題 
 右の等高線で,点 B C, D について fxfy の符号を埋めよ.(初めにを選び,続いて符号を選べ.)
  例:A B C D
fx
fy

 [選択肢] 
2.[2変数関数の増減表]
 2変数関数で極値となるところでは,=0 , =0 が成り立つが,この連立方程式の解となる (x,y) が実際に極値となるかどうか[上記の図5,図6でなく図3,図4となるかどうか]は,右図のように2変数関数の増減表を作って調べる.

(手順)

(1) =0 の曲線を描く

(2) =0 の曲線を描く

 以上の(1)(2)はていねいに描く必要はない.実際には,これら2曲線の交点 (a,b) (連立方程式の解)とその付近での(1)(2)の向きが分かればよい.

(3) =0 の曲線上で の符号に応じて z が増える向きに矢印を描く(↑または↓)

(4) =0 の曲線上でも同様に右向き又は左向きの矢印を描く.(→または←)

(5) 4個の領域について,左で上なら左上向き45°の太めの矢印を描く.右下なら右下向き45°とする.以下同様.(これらは各点での傾き(, )を正確に反映している必要はなく,最終的に点 (a,b) に向かっているか,離れているかが分かればよいので,おおまかに45°で描けばよい.)

(6) 4個の領域について矢印が描けたら,これらの矢印が全部点 (a,b) に向かっていれば,(a,b) は極大値,全部点 (a,b) から離れていけば,(a,b) は極小値とする.それ以外の場合は極値でない.

※ 次の関係に注意:
左の図でa>0 のとき,
x0<x1 ならば,
ax0+by0+c=0<ax1+by0+c

同様に b>0 のとき,
y0<y1 ならば,
ax0+by0+c=0<ax0+by1+c
増減表

例1
z=f(x,y)=x2 - 2xy+3y2 - 4x+8y の極値を求めよ.

(答案)
連立方程式

=2x-2y-4=0 ・・・(1)

= - 2x+6y+8=0 ・・・(2)

を解くと,x=1 , y= - 1

(1)よりも右にあれば(x が大きければ), >0 となるから,(1)よりも右にある部分に(→)を入れる.
 ※この場合は,(1)よりも下にあれば(y が小さければ)>0 となるといっても同じ.
逆に,(1)よりも左にあれば<0 となるから,(1)よりも左にある部分に(←)を入れる.( (2)の上だけでよい. )
 ※この場合は,(1)よりも上にあれば(y が大きければ)<0 となるといっても同じ.
 ※※ (1)では=0 が成り立つ.(1)以外では は正か負かいずれかとなる.つまり,x が増えれば,z は増えるか減るかいずれかとなる.この符号は計算しやすい点の座標を代入して求めてもよい.例えば (0 , 0 ) では <0 だから (0 , 0 ) を含む領域では←になる.

(2)よりも上にあれば >0 となるから,(2)よりも上にある部分に(↑)を入れる.逆に,(2)よりも下にあれば<0 となるから,(2)よりも下にある部分に(↓)を入れる.( (1)の上だけでよい. )
 ※で示した考え方は,上と同様.
以上により点 (1, -1) は極小値 z=f(1, - 1)=6 をとる.
例2
 z=f(x,y)=x2+xy - y2 - 2x - y の極値を調べよ.

(答案)

=2x+y - 2=0 ・・・(1)

= x - 2y - 1=0 ・・・(2)

を解くと,x=1 , y=0

(1)よりも上では(y が大きければ)>0 で右矢印
(1)よりも下では(y が小さければ)<0 で左矢印
(2)よりも右では(x が大きければ)>0 で上矢印
(2)よりも左では(x が小さければ)<0 で下矢印

※ 計算しやすい点の座標を代入する方法で行うと,
(0 , 0) では 2x+y - 2<0, x - 2y - 1<0 となるから,
  (1)は負,(2)も負:左下向き
次に(1)を横切ると左右の向きが変り,(2)を横切ると上下の向きが変ることに注意すると,全部のが描ける.

増減表を作ると右図のようになるから,極値はない.
参考:鳥瞰図
例3
 z=f(x,y)=2x3 - 6xy+3y2 の極値を調べよ.

(答案)

=6x2 - 6y=6(x2 - y)=0 ・・・(1)

= - 6x+6y= - 6(x - y)=0 ・・・(2)

を解くと,(0 , 0) , (1 , 1)
(1 , 0) において,→↓
以下境界線を横切るたびに→↓の向きを入れ換えると右図の増減表ができる.

(1 , 1) において極小値 - 1 をとる.
(0 , 0) では極値とはならない.


例4
 z=f(x,y)=x3+3xy2 - 3x の極値を調べよ.

(答案)

=3x2+3y2 - 3=3(x2+y2 - 1)=0 ・・・(1)

= 6xy=0 ・・・(2)

を解くと,(1 , 0) , (0 , 1) , ( - 1 , 0) , (0 , - 1)
(1 , 1) において,→↑
以下境界線を横切るたびに→↓の向きを入れ換えると右図の増減表ができる.

(1 , 0) において極小値 - 2 をとる.
(- 1 , 0) において極大値 2 をとる.
(0 , 1) , (0 , - 1) では極値とはならない.

 問題 
1. 次の関数の増減表を作れ.(右図で,初めにを選び続いてを選べ.正しければ確定し,間違っていれば元に戻る.)
(1)   z=f(x,y)=x3 - 3xy+y3

Help途中計算 鳥瞰図

(2)   z=f(x,y)=2x3 - 6xy - 12x+3y2

Help途中計算 鳥瞰図





2. 次の関数の極値を求めよ.
 増減表は右図で,初めにを選び続いてを選べ.
 極値は,該当するものを選べ.

 z=f(x,y)=2x2 - 2xy+y2+2x+2y

( - 2, - 3) で極大値 - 5 をとる
( - 2, - 3) で極小値 - 5 をとる
極値なし

Help途中計算 鳥瞰図



3.[方向微分]

 右図のように x 軸の正の向きとなす角がθである斜辺に沿って長さ r だけ進むと,x 座標が rcosθ,y 座標が rsinθだけ大きくなるから,点 (a , b ) から x 軸の正の向きとなす角がθである斜辺に沿って長さ r だけ進んだ点の座標は (x+rcosθ,y+rsinθ)となる.
 この方向に沿った平均変化率は


となるが,これを x 軸方向の増加と y 軸方向の増加の2段に分けて求めると,



=+
 微分係数は,


=+

 ここで第1項は,· cosθ

=· cosθ=cosθ

 第2項は, =sinθ
=sinθ =sinθ


となるから,次の式を得る.
cosθ+sinθ

 この式を,ベクトル =(cosθ,sinθ) 方向の微分係数といい, で表わす.すなわち,
=cosθ+sinθ







 各々の点 (a , b ) に対して
||

が最大となる角度θが定まり,この角度θに沿って下降(または上昇)すれば,最短距離で下降(または上昇)することができる.

 曲面にボールをそっと置くと,ボールは勾配ベクトルに沿って(逆向きに)転がっていくので,このボールを追跡すると2変数関数の極小値を求めることができる.
4.[勾配ベクトル]

○ 方向微分係数は,各点 (a , b) ごとに定まるベクトル ( , ) と単位ベクトル =(cosθ,sinθ) の内積となっているから, が ( , ) と同じ向きのとき最大となる.
 
grad f(a , b)=( , )

で定められるベクトルを勾配ベクトルという.勾配ベクトルは各点 (a , b) において関数 f(x , y) が最も効果的に増加する向きを表わしている.(勾配ベクトルの逆向きが最も効果的に減少する向きとなる.)

○ 第2章で述べた等高線に沿った接線の方程式
fx(a , b )(x - a)+fy(a , b )(y - b)=0
は,右図のように接線上の点 P(x , y),接点 A(a , b) に対してベクトル =(x - a, y - b) と勾配ベクトル ( , ) が垂直であることを示している.
 すなわち,「勾配ベクトルは等高線に垂直である.
○ 勾配ベクトルに沿った移動の実演

 (1) 次の実演1は,上の問題2.の
z=f(x,y)=2x2 - 2xy+y2+2x+2y について,初期値 (0 , 0) から r=0.1 ずつ,勾配ベクトルの逆向きに進んだときのシミュレーションで,「試行回数が50回になるか又は勾配ベクトルの大きさが 0.01 以下」になれば止まるプログラムである.上記の結果と比較してみよ.

 実演1  

 (2) 実演2は,上と同じ2変数関数について,初期値を (- 3 , 0) にしたものである.

 実演2  

 問題 
 右の図は,2変数関数 z=f(x,y)=x(x - 1)(x - 2)y(y - 1) について,マウスで初期値 (a, b) を指定すれば,勾配ベクトルの逆向きに「50個まで点を描き,勾配ベクトルが 0.001 以下」になれば止まるプログラムである.
 これを用いて,模擬実験を数回行って,計算なしで極小となる点の見当をつけよ.なお,初期値によっては,- ∞に向かうため描画範囲をはみ出ることがある.また,上の例で分かるように,固定的に r=0.1 とすると,行き過ぎて戻ることが多くなるので,このプログラムでは,勾配ベクトルの大きさに応じて r も小さくなるようにしている.)
 極小となる点の x , y 座標は,( , )←小数第1位まで

マウスで初期値を指定↓






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