■微分の計算  [演習]

◇微分の計算◇

 次の共通の性質と右の基本公式を用いて,様々な関数の導関数(微分)を求めることができる.

線形性
( af(x)+bg(x) )’=af ’(x)+bg’(x)
積の微分法
(fg)’=f ’g+fg’
商の微分法
( )’=
合成関数の微分法
=
 次の公式はよく使われる基本公式である.

・ f(x)==x → f ’(x)=x - 1
・ f(x)=sin x → f ’(x)=cos x
・ f(x)=cos x → f ’(x)= - sin x
・ f(x)=tan x → f ’(x)=

      ・ f(x)=arcsin x → f ’(x)=

      ・ f(x)=arccos x → f ’(x)= -

      ・ f(x)=arctan x → f ’(x)=

・ f(x)=ex → f ’(x)=ex
      ・ f(x)=ax (a>0 , a1) → f ’(x)=ax log a
・ f(x)=log x → f ’(x)=

     ・ f(x)=loga x (a>0 , a1) → f ’(x)=

 次の関数の導関数を求めよ.
(1) f(x)=sin 4x+cos 5x → f ’(x)=4 cos 4x - 5sin 5x
(2) f(x)=log(x2+1) → f ’(x)=

(3) y=ecos x → y’= - sin x ecos x

 次の関数について,[  ]内に指定されたものを求めよ.
z=sin(x - y) [ ,全微分 dz ]
=cos(x - y)

= - cos(x - y)

dz=cos(x - y)dx - cos(x - y)dy
問題1
 次の関数の導関数を求めよ.
(1) y= → y’=


(2) y=sin2x cos3x
 → y’= cos2x cos3x - sin2x sin3x

(3) y= → y’=

問題2
 次の関数について,[  ]内に指定されたものを求めよ.
(1) z=(x2+y2)(x4+y)  [ ]

 → =x(x4+x2y2+y)

(2) z=ex(x+y2)  [ ]

 → =ex(+x+y2)  → =yex

(3) f(x , y)=log(2x+3y)  [ (1,1) ]

 → =  → = → (1,1)=



(4) z=f(x , y)=x2+2xy+3y2
  [ x=2 , y= - 1 のときの接平面の方程式 ]

 → z=x - y -

(5) z=sin(2x - 3y)
  [ y= πの断面上の (0 ,π) における接線の方程式 ]

 → z=x (ただし,y= π)

(6) z=e2x+3y  [ 全微分 ]

 → dz=e2x+3y(dx+dy)

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