■2次関数による近似

◇2次関数による近似(1変数関数)

◇要点◇ ※ 近似式に関する記述は→第2章

○ xa における関数 f(x) の振舞い

0次近似: f(x)f(a)

1次近似: f(x)f(a)+f ’(a)(x - a)

2次近似: f(x)f(a)+f ’(a)(x - a)+(x - a)2






○ 特に,x0 のとき

0次近似: f(x)f(0)

1次近似: f(x)f(0)+f ’(0) x

2次近似: f(x)f(0)+f ’(0) x+ x2



※ 近似式の身近な例
f(a)=1f ’(a)=2f ”(a)=6x - a=0.1 のとき,
f(x)1+2 · 0.1+ · 0.12=1.23
f(a) は整数部分に対応
f ’(a)(x - a) は小数第1位に対応
(x - a)2 は小数第2位に対応している.


※ 近似式の身近な例
f(0)=1f ’(0)=2f ”(0)=6x=0.01 のとき,
f(x)1+2 · 0.01+ · 0.012=1.0203
f(0) は整数部分に対応
f ’(0) x は小数第2位に対応
x2 は小数第4位に対応している.

◇極値の判定◇

 以下においては,関数 f(x) として滑らかな関数,すなわち,f ’(x) が連続な関数のみを取り扱う.
 第4章では,x=a前後における f ’(x)符号の変化によって極値の判定を行った:
○ 極値f ’(x)=0 でかつ f ’(x)符号が変化する
f ’(x) の符号が正から負へ変化:極大値
f ’(x) の符号が負から正へ変化:極小値
○ f ’(x)=0 でも f ’(x)符号が変化しないとき
極値でない



 次のように x=a における f ”(x) の値 f ”(a) で調べることもできる:
f ’(a)=0 のとき,
○ f ”(a)>0x=a で極小値をとる.
○ f ”(a)<0x=a で極大値をとる.
○ f ”(a)=0x=a で極値かどうかこれだけでは分からない.
※ 2次導関数が極大極小であることに注意
(証明)
 2次近似: f(x)f(a)+f ’(a)(x - a)+(x - a)2
の式において,f ’(a)=0 のとき,
f(x) - f(a)(x - a)2
となるから,
(1) f ’(a)=0 , f ”(a)<0 のとき, xa のとき f(x) < f(a) となる.
(2) f ’(a)=0 , f ”(a)>0 のとき,xa のとき f(x) > f(a) となる.
(3) f ’(a)=0 , f ”(a)=0 のとき,これだけでは分からない.
極大値
x   a  
f ’(x) 0
f(x) f(a)
極小値
x   a  
f ’(x) 0
f(x) f(a)
極値でない
x   a  
f ’(x) 0
f(x) f(a)


極大値
x   a  
f ’(x)   0  
f ”(x)     
f(x) f(a)
極小値
x   a  
f ’(x)   0  
f ”(x)    
f(x) f(a)
これだけでは分からない
x   a  
f ’(x)   0  
f ”(x)   0  
f(x) ? f(a) ?
※ これだけ(第2次導関数まで)では分からないとは,「分からない」ということではなく,さらに高次の導関数を用いれば判断できる.

 右の表において,ア)では,f ’(a)=0 , f ”(a)=0 となっており第2次導関数までだけでは極値かどうか判断できない.

 まず,符号の変わり目ではわずかな値の変化でも符号が変るが,x=a において符号が正のとき,その近くにおいては,符号が急に変化するわけではないことに注意する.
○ 右の表において,f ”(x) という関数の導関数は f (3)(x) で,増加して(f (3)(x)>00 になる(f ”(x)=0)のだから,それまではf ”(x) は負であったといえる.また,0 から増加するのだから,その後は正であるといえる.
 以上により,f ”(x) の符号が定まる.
○ 同様にして,f ’(x) という関数の導関数は f ”(x) で,減少して(f ”(x)<00 になる(f ’(x)=0)のだから,それまでは正(f ’(x)>0).また,0 から増加するのだから,その後は正であるといえる.
 以上により,f ’(x) の符号が定まる.
○ 以上により,f(x) は増加→(休み)→増加となるから,x=0 のとき f(x) は極値ではないことが分かる.

※ 右の表ウ)では,第3次導関数まで符号が 0 で第4次導関数で符号が正になる点 x=0 において,極小値となる例を示している.考え方は同様である.
ア) f(x)=x3
x   0  
f ’(x)=3x2   0  
f ”(x)=6x   0  
f(x) ? 0 ?
イ) f(x)=x3
x   0  
f(x) 0
f ’(x)=3x2 0
f ”(x)=6x 0
f (3)(x)=6 + +

ウ) f(x)=x4
x   0  
f(x) 0
f ’(x)=4x3 - 0 +
f ”(x)=12x2 + 0 +
f (3)(x)=24x - 0 +
f (4)(x)=24 + + +

  関数 f(x)=exsin xx= - において極値をとるかどうか調べよ.

(答案)
 f ’(x)=exsin x+excos x=ex(sin x+cos x)
 f ”(x)=ex(sin x+cos x)+ex(cos x - sin x)=2excos x
 f ’( - )=0
 f ”( - )>0 により,x= - において極小値をとる.
 問題 
 f(x)=2sin x+cos2x0<x<π)の極値を調べた.正しいものを選べ.
(答案)
f ’(x)=2cos x - 2sin 2x
f ”(x)= - 2sin x - 4cos 2x
f ’(x)=02cos x - 2sin 2x=2cos x - 4sin x cos x=2cos x(1 - 2sin x)=0x= , x= , x=

ア) x= のとき,f ’()=0f ”()<0 だから,

     極大 極小 極値でない
イ) x= のとき,f ’()=0f ”()>0 だから,

     極大 極小 極値でない
ウ) x= のとき,f ’( )=0f ”( )<0 だから,

     極大 極小 極値でない

◇2変数関数の近似◇

◇要点◇
○ (x , y)(a , b) における関数 f(x , y) の振舞い

0次近似: f(x , y)f(a , b) ・・・(1)

1次近似: f(x , y)f(a , b)+fx(a , b)(x - a)+fy(a , b)(y - b) ・・・(2)

2次近似: f(x , y)≒f(a , b)+fx(a , b)(x - a)+fy(a , b)(y - b)+{ fxx(a , b)(x - a)2+2fxy(a , b)(x - a)(y - b)+fyy(a , b)(y - b)2} ・・・(3)

○ 特に,(x , y)(0 , 0) のとき

0次近似: f(x , y)f(0 , 0)

1次近似: f(x , y)f(0 , 0)+fx(0 , 0) x + fy(0 , 0) y

2次近似: f(x , y)≒f(0 , 0)+fx(0 , 0) x +fy(0 , 0) y+{ fxx(0 , 0) x2+2fxy(0 , 0) xy+fyy(a , b) y2}
1次近似までについては,第2章で述べた.

2次近似の式を
f(x , y)≒f(a , b)+fx(a , b)(x - a)+fy(a , b)(y - b)+A(x - a)2+B(x - a)(y - b)+C(y - b)2  ・・・(4)
とおくと,A , B , C は次のようにして求められる:

(4)の両辺を x で偏微分すると,
  fx(x , y)≒fx(a , b)+2A(x - a)+B(y - b)  ・・・(5)
関数 fx(x , y) に(2)を適用すると
  fx(x , y)fx(a , b)+fxx(a , b)(x - a)+fxy(a , b)(y - b) ・・・(6)
(5)(6)を比較すると,2A=fxx(a , b) , B=fxy(a , b)

同様にして, (4)の両辺を y で偏微分すると,
  fy(x , y)≒fy(a , b)+B(x - a)+2C(y - b)  ・・・(5)
関数 fy(x , y) に(2)を適用すると
  fy(x , y)fy(a , b)+fxy(a , b)(x - a)+fyy(a , b)(y - b) ・・・(6)
(5)(6)を比較すると,B=fxy(a , b) , 2C=fyy(a , b)

以上から(3)が得られる.

◇2変数関数の極値◇

 2変数関数の極値を,増減表を作成して調べる方法については第4章で学んだ.ここでは,第2次偏導関数の符号によって2変数関数の極値を調べる方法を学ぶ.
 すなわち,2変数関数 f(x , y) が点(a , b) において極値をとるためには,第1次偏導関数が fx(a , b)=fy(a , b)=0 を満たすことが必要条件であるが,この条件を満たしても極値でない場合が含まれる.そこで,第1次偏導関数が fx(a , b)=fy(a , b)=0 を満たす点が,さらにどのような条件を満たせば極値となるかを調べる.
 上記(3)により,
 f(x , y)≒f(a , b)+fx(a , b)(x - a)+fy(a , b)(y - b)+{ fxx(a , b)(x - a)2+2fxy(a , b)(x - a)(y - b)+fyy(a , b)(y - b)2}
であるが,fx(a , b)+fy(a , b)=0 の場合を調べているから,
f(x , y)≒f(a , b)+{ fxx(a , b)(x - a)2+2fxy(a , b)(x - a)(y - b)+fyy(a , b)(y - b)2}
 そこで,f(x , y) - f(a , b)={ fxx(a , b)(x - a)2+2fxy(a , b)(x - a)(y - b)+fyy(a , b)(y - b)2} が,つねに正ならば f(a , b) は極小値,つねに負ならば f(a , b) は極大値といえる.
 f(x , y) - f(a , b)= A(x - a)2+B(x - a)(y - b)+C(y - b)2
符号を調べると,次のことが分かる.
 ここで,A=fxx(a,b) , B=fxy(a,b) , C=fyy(a,b) である.

◇要点◇
(I) B2 - 4AC<0 のとき極値となる.
   ア) A>0 , B2 - 4AC<0 のとき,極小
   イ) A<0 , B2 - 4AC<0 のとき,極大
(II) B2 - 4AC>0 のとき極値でなく,鞍点となる.
(III) B2 - 4AC=0 のとき,これだけでは分からない

※ 右の結果を B2 - 4AC の符号によって分類したものがこの要点である.

 上の結果を用いると,2変数関数の極値は次のようにまとめることができる.
※ H(x , y) はヘッセ行列と呼ばれる.
◇要点◇
H(x , y)= とおき,

行列 H(x , y) の固有値を,p ,q とすると,
(I) p ,q が同符号ならば,f(x , y)(a , b) で極値をとる.
    p >0 ,q >0 のとき,極小値
    p <0 ,q <0 のとき,極大値
(II) p ,q が異符号ならば,f(x , y)(a , b) で極値とならず鞍点となる.
(III) pq=0 のとき,f(x , y)(a , b) で極値かどうかこれだけでは分からない.
(解説) 次のように変形する.
i) A0 のとき
F=A(x - a)2+B(x - a)(y - b)+C(y - b)2 とおくと
F=A { (x - a)2+(x - a)(y - b) }+C(y - b)2

=A { (x - a)+(y - b) }2 - (y - b)2+C(y - b)2

=A { (x - a)+(y - b) }2 - (y - b)2
だから,点(a , b) の近くで
A>0 , B2 - 4AC<0 ならば F0 (等号は(x , y)=(a , b)のとき)
A<0 , B2 - 4AC<0 ならば F0 (等号は(x , y)=(a , b)のとき)
0B2<4AC のときは,A0 とはならない.)

B2 - 4AC>0 ならば A - は符号が逆になり,F は正の値も負の値もとる:極値でなく,鞍点となる.

B2 - 4AC=0 ならばF=A { (x - a)+(y - b) }2 となり,A の符号によって変り,これだけでは分からない.

ii) A=0 のとき
F=B(x - a)(y - b)+C(y - b)2=(y - b){B(x - a)+C(y - b)}
 a) B0 のとき y - b の正負に応じて,F は正負の値をとる.
 b) B=0 のとき,F=C(y - b)2 となり,C の符号によって変り,これだけでは分からない.
(解説)
f(x , y) - f(a , b)={ fxx(a , b)(x - a)2+2fxy(a , b)(x - a)(y - b)+fyy(a , b)(y - b)2}
=A(x - a)2+B(x - a)(y - b)+C)(y - b)2
とおくと
fxx(a , b)=2A , fxy(a , b)=B , fyy(a , b)=2C
だから
=0 
は,

=0

と書ける.すなわち,固有方程式は,
f(z)=z2 - 2(A+C)z+4AC - B2=0
f(z)={ (z - (A+C) }2 - (A+C)2+4AC - B2=0
f(z)={ (z - (A+C) }2 - { (A - C)2+B2}=0

となり,右のように2次関数のグラフと z 軸との交点を見ると,極値かどうか調べることができる.
4AC - B2>0 のとき(B2 - 4AC<0 のとき)
0B2<4AC は正だから,A , C は同符号
<===> 2つの正の固有値 p ,q をもつとき,上記(I)ア)より
   極小となる.
<===> 2つの負の固有値 p ,q をもつとき,上記(I)イ)より,
   極大となる.

4AC - B2<0 のとき(B2 - 4AC>0 のとき)
<===> 固有値が異符号となるとき,上記(II)より鞍点となる.
例1
f(x , y)=x3 - 3xy+y3 の極値を調べよ.
(答案)
fx=3x2 - 3y , fxx=6x , fyx= - 3 , fy= - 3x+3y2 , fyy=6y
だから,

H(x , y)=

連立方程式 fx=3x2 - 3y=0 , fy= - 3x+3y2=0 の解は
(0 , 0) , (1 , 1) の2個
(1)
(0 , 0) のとき,H(0 , 0)=

の固有方程式は, =0
固有方程式の解は,z2 - 9=0 より,z=±3
異符号だから,(0 , 0) では極値を持たず鞍点となる.

(2)
(1 , 1) のとき,H(1 , 1)=

の固有方程式は, =0
固有方程式の解は,z2 - 12z+27=0 より,z=3 , 9
正の2つの解をもつから,(1 , 1)極小となり,
極小値は f(1 , 1)= - 1
例2
f(x , y)=sin x sin y - <x , y<)の極値を調べよ.
(答案)
fx=cos x sin y , fxx= - sin x sin y , fyx=cos x cos y , fy= - sin x cos y , fyy= - sin x sin y
だから,

H(x , y)=

連立方程式 fx=cos x sin y=0 , fy=sin x cos y=0 の解は
(0 , 0)
のとき,H(0 , 0)=

の固有方程式は, =0
固有方程式の解は,z2 - 1=0 より,z=±1
異符号だから,(0 , 0) では極値を持たず鞍点となる.
極値はない.
 問題 
(1) f(x , y)=x3+y3 - 6xy+1 の極値を調べよ.
(答案)
偏導関数は fx=3x2 - fy=3y2 -
fxx=fxy=fyy=
となり,連立方程式 fx=0fy=0 の解は(0 , 0) , (2 , 2)

H(x , y)= 

ア) (0 , 0) において固有方程式

=0z2 - 36=0 の解は,z=±6

だから (0 , 0) において
 極大値をとる 極小値をとる 鞍点となる
 第2次偏導関数まででは極値を判別できない

イ) (2 , 2) において固有方程式

=0z2 - 24z+108=0

 の解は,z=6 , 18
だから (2 , 2) において
 極大値をとる 極小値をとる 鞍点となる
 第2次偏導関数まででは極値を判別できない






秋の奈良
(2) f(x , y)=(x2- 2x)(y2 - 2y) の極値を調べよ.
(答案)
偏導関数は fx=()(y2 - 2y)fy=(x2 - 2x)()
fxx=(y2 - 2y)fxy=(2x - 2)(2y - 2)fyy=(x2 - 2x)
となり,連立方程式 fx=0fy=0 の解は(0 , 0) , (1 , 1) , (2 , 2)
ア) (0 , 0) において

H(0 , 0)= 


固有方程式は, = 0

z2 - 16=0 の解は,z=±4
だから (0 , 0) において
 極大値をとる 極小値をとる 鞍点となる
 第2次偏導関数まででは極値を判別できない

イ) (1 , 1) において

H(1 , 1)= 


固有方程式は, = 0

(- 2 - z)2=0 の解は,z=2 , 2
だから (1 , 1) において
 極大値をとる 極小値をとる 鞍点となる
 第2次偏導関数まででは極値を判別できない

ウ) (2 , 2) において

H(2 , 2)= 


固有方程式は, = 0

x2 - 4=0 の解は,z=±2
だから (2 , 2) において
 極大値をとる 極小値をとる 鞍点となる
 第2次偏導関数まででは極値を判別できない


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