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== 重積分の計算 ==

◇累次積分◇

 区間 axb において不等式 p(x)yq(x) を満たす xy 平面上の領域を K とする.K 上で定義される関数 z=f(x , y)0 について,不等式 0zf(x , y) を満たす xyz 空間の領域(立体)を M とするとき,立体 M の体積を求めることを考える.
 集合記号で表わすと次の領域となっている:
K={(x,y)|axbp(x)yq(x)}
M={(x,y,z)|(x,y)K0zf(x,y)}

 図2,図3において桃色で示した x=t の断面の面積を M(t) とすると,
 M の体積を V とおくと,
···(1)
一方,領域 K 上の重積分は

···(2)
で表わされるから,

※ このように定積分を繰り返し行うこと(累次積分)により重積分の値を求めることができる.
※ 上の説明では f(x , y)0 の場合について,体積を求めたが,f(x , y) が必ずしも正または0とは限らないとき重積分は体積を表わさないが,累次積分で求められる事情は同じである.
※ 図4のように,領域 K の形によっては,y=u の断面から求める方が求めやすいことがある.この場合は,

で求められる.
図1
図2
図3
図4

例1
 右図のように,0xa0yb0zc の区間にある直方体の体積は V=abc であるが,これを重積分で確かめると
ア) x=t の断面で切ると ,

イ) y=u の断面で切ると ,


例2
 K={ (x,y)| 0x10y1 }
 M={ (x,y,z) | (x,y)K , 0zxy } で定義される立体の体積は,


一般に,f(x,y)=g(x)h(y) のように,積の形に変数分離できるときは

が成り立つ.



だから


z=xy の曲面

例3
 右図のように,y=2xx 軸および直線 x=1 とで囲まれた図形上で定義される2変数関数 z=xy と平面 z=0 とで囲まれる立体の体積
 すなわち,
 K={ (x,y)| 0x1 0y2x }
 M={ (x,y,z) | (x,y)K , 0zxy } で定義される立体の体積は,
ア)x軸に垂直な断面で切り,yで積分した後にxで積分すれば




イ)y軸に垂直な断面で切り,xで積分した後にyで積分すれば



例4
 右図のように,y=xy=x2 とで囲まれた図形上で定義される2変数関数 z=x+y と平面 z=0 とで囲まれる立体の体積
 すなわち,
 K={ (x,y)| 0x1 x2yx }
 M={ (x,y,z) | (x,y)K , 0zx+y } で定義される立体の体積は,
ア)x軸に垂直な断面で切り,yで積分した後にxで積分すれば







イ)y軸に垂直な断面で切り,xで積分した後にyで積分すれば






 問題 
(※半角数字=1バイト文字で答えよ)
(1)
K={ (x,y)| 0≦x≦1,0≦y≦1 }
を計算せよ.
(原式)=

(2)
K={ (x,y)| 0≦x≦1,1−x≦y≦1 }
を計算せよ.
(原式)=

(3)
 原点を中心とする半径 1 の円の上半分の領域を D とするとき,

D={ (x,y)| x2+y2≦1,0≦y }
を計算せよ.
 なお,必要ならば次の公式を用いよ.
cos2t=(cos 2t+1) (半角公式)
cos4t=(cos2t)2={(cos 2t+1)}2
={cos22t+2cos 2t+1}
={(cos 4t+1)+2cos 2t+1}=cos 4t+cos 2t+
(原式)=

◇極座標◇

 極座標 x=rcosθy=rsinθ により, 平面上の領域 Hxy 平面上の領域 K に写す変数変換を考えると,
dxdy=|J|drdθ
において,


だから

が成り立つ.

上の問題(3)は極座標 x=rcosθy=rsinθ を用いると,次のように計算できる





 上の例2の結果を用いて次の式が導かれる.
xy 平面全体(−∞<x<∞,−∞<y<∞の範囲)を領域 K とするとき
…(1)
さらに
…(2)[ ガウスの公式 ]
…(3)
(解説)
 図のように,極座標より,平面上の領域 Hxy平面上の領域 K に写す変数変換 x=rcosθy=rsinθを考えると,
dxdy=|J|drdθ
|J|=r
となるから,
(左辺)

ここで

とおくと
(左辺)=I2         (続く→)
(右辺)
ここで

に注意すると


(右辺)
以上から,
 →(2)
さらに,(3)の左辺において,とおいて置換積分を行うと,
x −∞ → ∞
t −∞ → ∞

次の(1)(2)を満たす関数 f(x) を確率密度関数(または,確率分布関数)という.
 (1) 区間−∞<x<∞ において,つねに f(x)0

 (2)

(半角数字=1バイト文字で答えよ)
 問題 
(1) 関数 が確率密度関数を表わすように,定数Aの値を定めよ.

(2) 関数
が確率密度関数を表わすように,定数Bの値を定めよ.

(3)
 原点を中心とする半径1の円で0x, 0yを満たす領域をDとするとき,
, D={(x,y)| x2+y2≦1, 0≦x, 0≦y}
を極座標 x=rcosθ,y=rsinθを用いて計算せよ.
(原式)=
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