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◇1変数関数の増減表◇

※ このページでは,関数f(x)f ’(x)が連続なものを扱う.したがって,f ’(x)の符号が変化するときは,必ずf ’(x)=0となる点が存在する.

1.[増加,減少の定義]
○ ある区間axb内の任意の値x1, x2について,
x1< x2ならばf(x1) < f(x2)
が成り立つとき,関数f(x)は区間axbにおいて(単調)増加であるという.
○ ある区間axb内の任意の値x1, x2について,
x1< x2ならばf(x1) > f(x2)
が成り立つとき,関数f(x)は区間axbにおいて(単調)減少であるという.



2.[導関数を用いた増減の判定]
 (単調)増加及び(単調)減少は,異なる2つの値x1, x2に対する関数の値を比較して得られる性質であるので,原理的には1点の値f(x)f ’(x)のみによっては判断できないものであるが,1つの区間axbにおいてf ’(x)が常に正であるならば,この区間で(単調)増加であることを示すことができる.(平均値の定理を用いて証明される.)
 同様にして,1つの区間axbにおいてf ’(x)が常に負であるならば,この区間で(単調)減少であることを示すことができる.
○ ある区間axb内で
つねにf ’(x) > 0→ (単調)増加
○ ある区間axb内で
つねにf ’(x) < 0→ (単調)減少



3.[極値の定義]

○ 関数f(x)についてx=aのまわりで,つねに
f(a)>f(x) , (xa)
となるとき,f(x)x=a極大であるといい,f(a)極大値という.
 極大となるところx=aでは,関数f(x)が増加から減少に変化し,
f ’(a)=0
となる.その前後ではf ’(x)符号は正から負に変化する.

○ 関数f(x)についてx=aのまわりで,つねに
f(a)<f(x) , (xa)
となるとき,f(x)x=a極小であるといい,f(a)極小値という.
 極小となるところx=aでは,関数f(x)が減少から増加に変化し,
f ’(a)=0
となる.その前後ではf ’(x)符号は負から正に変化する.
○ 極大値と極小値をまとめて極値という.

○ 極値f ’(x)=0でかつf ’(x)符号が変化する[右図1]
f ’(x)の符号が正から負へ変化:極大値
f ’(x)の符号が負から正へ変化:極小値
f ’(x)=0でもf ’(x)符号が変化しないとき[右図2]
極値でない

※ この章では増減表を用いた極値の調べ方を解説したが,後の章で増減表を用いない極値の調べ方にも触れる.(2変数関数についても同様)
 極大の前後では,f ’(x)が正から負に変化してあり,極大のところではf ’(x)=0となる.
x a
f ’(x) 0
f(x) f(a)
図1
図2

※ 高校以来学んでいるように,極大・極小はその点のまわりだけの性質で,一定の区間で一番大きい,小さいを表わす最大・最小とは別のものである.
 極大であっても,最大である場合も,最大でない場合もある.


◇2変数関数の増減表◇

1.[2変数関数の極値]

○ 2変数関数f(x, y)について,点(a, b)のまわりで,つねに
f(a, b)>f(x, y) , (x, y)(a, b)
となるとき,f(x, y)(a, b)極大であるといい,f(a, b)極大値という.
 極大となるところでは,=0 ,=0となり,各々増加から減少に変化する.

○ 2変数関数f(x, y)について,点(a, b)のまわりで,つねに
f(a, b)<f(x, y) , (x, y)(a, b)
となるとき,f(x, y)(a, b)極小であるといい,f(a, b)極小値という.
 極小となるところでは,=0 ,=0となり,各々減少から増加に変化する.

○ 1変数関数のときと同様に,極大値と極小値をまとめて極値という.

※ 峠を越える道路は通常,右図5の青で示した経路となる.青で示した方向で x座標だけが変化するとすると,この道路は各yの最小値を取りながら山を越えるようになっている.特に鞍点(峠)では,y方向に見れば極小,x方向に見れば極大となるが,2変数関数としては極値でない.(これよりも大きいところも小さいところもある.)

右図6に示した点(一人掛けソファーの中心部)も=0,
=0
であるが極値ではない.

図3
図4
図5
図6

問題
 右の等高線で,点B C, Dについてfxfyの符号を埋めよ.(初めにを選び,続いて符号を選べ.)
例:A B C D
fx
fy

 [選択肢]

2.[2変数関数の増減表]
 2変数関数で極値となるところでは,=0 ,=0が成り立つが,この連立方程式の解となる(x, y)が実際に極値となるかどうか[上記の図5,図6でなく図3,図4となるかどうか]は,右図のように2変数関数の増減表を作って調べる.

(手順)

(1)=0の曲線を描く

(2)=0の曲線を描く

 以上の(1)(2)はていねいに描く必要はない.実際には,これら2曲線の交点(a, b)(連立方程式の解)とその付近での(1)(2)の向きが分かればよい.

(3)=0の曲線上での符号に応じてzが増える向きに矢印を描く(↑または↓)

(4)=0の曲線上でも同様に右向き又は左向きの矢印を描く.(→または←)

(5)4個の領域について,左で上なら左上向き45°の太めの矢印を描く.右下なら右下向き45°とする.以下同様.(これらは各点での傾き(,)を正確に反映している必要はなく,最終的に点(a, b)に向かっているか,離れているかが分かればよいので,おおまかに45°で描けばよい.)

(6)4個の領域について矢印が描けたら,これらの矢印が全部点(a, b)に向かっていれば,(a, b)は極大値,全部点(a, b)から離れていけば,(a, b)は極小値とする.それ以外の場合は極値でない.

※ 次の関係に注意:
左の図でa>0のとき,
x0<x1ならば,
ax0+by0+c=0<ax1+by0+c

同様にb>0のとき,
y0<y1ならば,
ax0+by0+c=0<ax0+by1+c

増減表

例1
z=f(x, y)=x2−2xy+3y2−4x+8yの極値を求めよ.

(答案)
連立方程式

=2x−2y−4=0・・・(1)

=−2x+6y+8=0・・・(2)

を解くと,x=1 , y=−1

(1)よりも右にあれば(xが大きければ),>0となるから,(1)よりも右にある部分に(→)を入れる.
※この場合は,(1)よりも下にあれば(yが小さければ)>0となるといっても同じ.
逆に,(1)よりも左にあれば<0となるから,(1)よりも左にある部分に(←)を入れる.( (2)の上だけでよい. )
※この場合は,(1)よりも上にあれば(yが大きければ)<0となるといっても同じ.
※※ (1)では=0が成り立つ.(1)以外ではは正か負かいずれかとなる.つまり,xが増えれば,zは増えるか減るかいずれかとなる.この符号は計算しやすい点の座標を代入して求めてもよい.例えば (0 , 0 )では<0だから(0 , 0 )を含む領域では←になる.

(2)よりも上にあれば>0となるから,(2)よりも上にある部分に(↑)を入れる.逆に,(2)よりも下にあれば<0となるから,(2)よりも下にある部分に(↓)を入れる.( (1)の上だけでよい. )
※で示した考え方は,上と同様.
以上により点(1,−1)は極小値z=f(1,−1)=6をとる.
例2
z=f(x, y)=x2+xy−y2−2x−yの極値を調べよ.

(答案)

=2x+y−2=0・・・(1)

= x−2y−1=0・・・(2)

を解くと,x=1 , y=0

(1)よりも上では(yが大きければ)>0で右矢印
(1)よりも下では(yが小さければ)<0で左矢印
(2)よりも右では(xが大きければ)>0で上矢印
(2)よりも左では(xが小さければ)<0で下矢印

※ 計算しやすい点の座標を代入する方法で行うと,
(0 , 0)では2x+y−2<0, x−2y−1<0となるから,
  (1)は負,(2)も負:左下向き
次に(1)を横切ると左右の向きが変り,(2)を横切ると上下の向きが変ることに注意すると,全部のが描ける.

増減表を作ると右図のようになるから,極値はない.
参考:鳥瞰図
例3
z=f(x, y)=2x3−6xy+3y2の極値を調べよ.

(答案)

=6x2−6y=6(x2−y)=0・・・(1)

=−6x+6y=−6(x−y)=0・・・(2)

を解くと,(0 , 0) , (1 , 1)
(1 , 0)において,→↓
以下境界線を横切るたびに→↓の向きを入れ換えると右図の増減表ができる.

(1 , 1)において極小値−1をとる.
(0 , 0)では極値とはならない.


例4
z=f(x, y)=x3+3xy2−3xの極値を調べよ.

(答案)

=3x2+3y2−3=3(x2+y2−1)=0・・・(1)

= 6xy=0・・・(2)

を解くと,(1 , 0) , (0 , 1) , (−1 , 0) , (0 ,−1)
(1 , 1)において,→↑
以下境界線を横切るたびに→↓の向きを入れ換えると右図の増減表ができる.

(1 , 0)において極小値−2をとる.
(−1 , 0)において極大値2をとる.
(0 , 1) , (0 ,−1)では極値とはならない.


問題
1.次の関数の増減表を作れ.(右図で,初めにを選び続いてを選べ.正しければ確定し,間違っていれば元に戻る.)
(1) z=f(x, y)=x3−3xy+y3

Help途中計算鳥瞰図

(2) z=f(x, y)=2x3−6xy−12x+3y2

Help途中計算鳥瞰図






2.次の関数の極値を求めよ.
 増減表は右図で,初めにを選び続いてを選べ.
 極値は,該当するものを選べ.

z=f(x, y)=2x2−2xy+y2+2x+2y

(−2,−3)で極大値−5をとる
(−2,−3)で極小値−5をとる
極値なし

Help途中計算鳥瞰図



3.[方向微分]

 右図のようにx軸の正の向きとなす角がθである斜辺に沿って長さrだけ進むと,x座標がrcosθ,y座標がrsinθだけ大きくなるから,点(a, b)からx軸の正の向きとなす角がθである斜辺に沿って長さrだけ進んだ点の座標は(x+rcosθ,y+rsinθ)となる.
この方向に沿った平均変化率は


となるが,これをx軸方向の増加とy軸方向の増加の2段に分けて求めると,



=+
 微分係数は,


=
+


 ここで第1項は,
· cosθ

=· cosθ=cosθ

 第2項は,
=sinθ
=sinθ =sinθ


となるから,次の式を得る.
cosθ+sinθ

 この式を,ベクトル=(cosθ,sinθ)方向の微分係数といい,で表わす.すなわち,
=cosθ+sinθ







 各々の点(a, b)に対して
||

が最大となる角度θが定まり,この角度θに沿って下降(または上昇)すれば,最短距離で下降(または上昇)することができる.

 曲面にボールをそっと置くと,ボールは勾配ベクトルに沿って(逆向きに)転がっていくので,このボールを追跡すると2変数関数の極小値を求めることができる.

4.[勾配ベクトル]

○ 方向微分係数は,各点(a, b)ごとに定まるベクトル (,) と単位ベクトル=(cosθ,sinθ)の内積となっているから,が (,) と同じ向きのとき最大となる.
grad f(a, b)=(,)

で定められるベクトルを勾配ベクトルという.勾配ベクトルは各点(a, b)において関数f(x, y)が最も効果的に増加する向きを表わしている.(勾配ベクトルの逆向きが最も効果的に減少する向きとなる.)

○ 第2章で述べた等高線に沿った接線の方程式
fx(a, b)(x−a)+fy(a, b)(y−b)=0
は,右図のように接線上の点P(x, y),接点A(a, b)に対してベクトル =(x−a, y−b)と勾配ベクトル (,) が垂直であることを示している.
 すなわち,「勾配ベクトルは等高線に垂直である.
○ 勾配ベクトルに沿った移動の実演

(1) 次の実演1は,上の問題2.の
z=f(x, y)=2x2−2xy+y2+2x+2yについて,初期値(0, 0)からr=0.1ずつ,勾配ベクトルの逆向きに進んだときのシミュレーションで,「試行回数が50回になるか又は勾配ベクトルの大きさが 0.01以下」になれば止まるプログラムである.上記の結果と比較してみよ.

実演1

(2) 実演2は,上と同じ2変数関数について,初期値を(−3, 0)にしたものである.

実演2

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