◇積分の定義◇

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== 積分の定義 ==

◇面積とは何か◇

（考え方の要点）
　面積は自然物のように初めからあるのではなく，人間が定義するものである．

　A は２次元の図形，m(A) は図形にその面積を対応させる関数とするとき，関数 m(A) は次の性質をもつ．

(1) m(A)≧0
(2) m( $\empty$ )=0 　（ $\empty$ は空集合）
(3) A∩B= $\empty$ のときm(A $\cup$ B)=m(A)+m(B)

　面積を表わす関数 m(A) は，さらに次の性質を持つものとする：
(4)　長方形 R については，m(R)=ab

　上の性質を前提とすれば，例えば次のような常

識（？）も証明可能な定理となる．
「C⊃D ならば m(C)≧m(D)」
（∵）
　集合 C のうち D でないものを C−D で表わす．（参考までに，C+D という記号は使わず，和集合は C $\cup$ Dと書く．）
(C−D)∩D= $\empty$ ，C=(C−D) $\cup$ D だから
m(C)=m(C−D)+m(D)
m(C)−m(D)=m(C−D)≧0

○　左の性質(1)(2)(3)を満たすものの例

　A を事象とし，p(A) を事象 A が起こる確率とすると，
(1) p(A)≧0
(2) p( $\empty$ )=0 　（ $\empty$ は空集合）
(3) A∩B= $\empty$ のとき p(A∩B)=p(A)+p(B)

確率については，さらに
(4) p(A)≦1 が成り立つ．

○　左の性質でA は３次元の図形，m(A) は図形にその体積を対応させる関数とするとき，(4)は次の形になる．
(4)　直方体 R については，m(R)=abc

◇曲線で囲まれた図形の面積◇

　右図のように，区間 a≦x≦b において，関数 y=f(x) がつねに正のとき，区間 a≦x≦b において，関数 y=f(x)，直線 x=a，x=b および x 軸で囲まれた図形の面積を S とすると，

(1)　左端の図から， m(b−a)≦S≦M(b−a)
(2)　２分割したときは，中央の図から， m₁(c−a)+m₂(b−c)≦S≦M₁(c−a)+M₂(b−c)
(n)　分割を細かくしていくと， m₁(x₁−a)+m₂(x₂−x₁)+···+m_n(b−x_n-1)
≦S≦M₁(x₁−a)+M₂(x₂−x₁)+···+M_n(b−x_n-1) となるが，この右辺と左辺との差は，
(右辺)-(左辺)=Σ(M_i−m_i)(x_i−x_i-1)
M_i−m_i の値のうち最大のものを d とおくと， Σ(M_i−m_i)(x_i−x_i-1)≦Σd(x_i−x_i-1)=dΣ(x_i−x_i-1)
=d(b−a) は，d→0 のとき，0 に近づくから，右辺と左辺は一致し，この値が図形の面積 S となる．

※　小学生のときに，次のような地図から島の面積を求めることがある．塗りつぶされている方眼の数を数えて面積とするのであるが，縦横の線を細かくひけば，もっと正確な値を求めることができる．（半分以上塗りつぶされている方眼を数える（四捨五入する）など近似の精度を上げる工夫もあり得る．）

◇定積分の定義◇

　右図のように区間 a≦x≦b をn個に分割し，
a=x₀<x₁<x₂< ··· <x_n-1<x_n=b とする．
　また，小区間 x_i-1≦x≦x_i の幅をΔx_iとし，Δx_i の最大値を|Δ|とおくとき，区間 a≦x≦b における関数 f(x) に対して次の極限値を定積分という．

【定積分の定義】
$\underset{\small a}{\int^b}f(x)dx=\lim_{\mid\Delta\mid\rightarrow 0}\sum_{i=1}^nf(c_i)\Delta x_i$

※　この定義自体の練習を行う場合を除いて，この定義を用いて直接計算することはない．

※　区間 a≦x≦b において f(x)≧0 のとき，この式で定まる値を面積とする．
　f(x) が必ずしも正または0 と限らない一般の場合，この式を定積分の定義とする．

※高校までは，区間 a≦x≦b をn等分に分割するものとしていたが，上の図のように必ずしも等分でない分割でもよく，区間の幅の最大値|Δ|が0 に近づけばよい．

◇定積分の基本的性質◇

　次の関係が成り立つ．

(1) 【積分変数に依存しない】
$\underset{\small a}\int^bf(x)dx=\underset{\small a}{\int^b}f(t)dt$
(2) 【線形性】
$\underset{\small a}\int^bkf(x)dx=k\underset{\small a}{\int^b}f(x)dx$
$\underset{\small a}\int^b\{f(x)+ g(x)\}dx=\underset{\small a}{\int^b}f(x)dx+\underset{\small a}{\int^b}g(x)dx$
$\underset{\small a}\int^b\{pf(x)+ qg(x)\}dx=p\underset{\small a}{\int^b}f(x)dx+ q\underset{\small a}{\int^b}g(x)dx$
(2) 【積分区間の性質】
$\underset{\small a}\int^bf(x)dx=\underset{\small a}{\int^c}f(x)dx+\underset{\small c}{\int^b}f(x)dx$

秋の奈良

◇重積分の定義◇

　右図のように，xy 平面上の領域 K をn個の微小領域に分割し，各微小領域 K_i 内の任意の１点を P_i ，微小領域の面積を ΔA_i ，ΔA_i の最大値を Δ とすると，f(P_i )ΔA_i は底面積×高さとなって右図下のような角柱の体積となり，これらの総和 Σf(P_i )ΔA_i は右図のような立体（山）の近似値となっている．
　xy 平面上の領域 K における２変数関数 f(x , y) の定積分，すなわち重積分を次のように定義する．

【重積分の定義】
$\underset{\hspace{20}\tiny K}{\iint}f(x,\hspace{2}y)dxdy=\lim_{\mid\Delta\mid\rightarrow 0}\sum_{i=1}^nf(P_i)\Delta A_i$

（解説）
　立体の体積を V，微小領域上の立体の体積をV_i とおくと m_iΔA_i≦V_i≦M_iΔA_i
Σm_iΔA_i≦ΣV_i≦ΣM_iΔA_i ΔA_i の最大値 |Δ| が 0 に近づく極限において，左辺と右辺の極限値が一致するとき，その値を体積とする．
　f(x , y) が必ずしも正または0 と限らない一般の場合については，符号付きで体積を表わすこととなるが，この式を重積分の定義とする．

※　角柱の底面積ΔA_iをΔxΔy と考えると，
ΔA_i→0 に対応して，ΔxΔy→dxdy と書くことができる．

◇重積分の基本性質◇

　重積分は次の性質をもっている．

【線形性】
$\underset{\hspace{20}\tiny K}{\iint}\{f(x,\hspace{2}y)+ g(x,\hspace{2}y)\}dxdy$
$=\underset{\hspace{20}\tiny K}{\iint}f(x,\hspace{2}y)dxdy+\underset{\hspace{20}\tiny K}{\iint}g(x,\hspace{2}y)dxdy$
$\underset{\hspace{20}\tiny K}{\iint}kf(x,\hspace{2}y)dxdy=k\underset{\hspace{20}\tiny K}{\iint}f(x,\hspace{2}y)dxdy$
【加法性】
　２つの領域 K，Hに重なる部分がないとき：
すなわち， $K\cap H=\empty$ のとき，
$\underset{\hspace{40}\tiny K\cup H}{\iint}f(x,\hspace{2}y)dxdy$
$=\underset{\hspace{20}\tiny K}{\iint}f(x,\hspace{2}y)dxdy+\underset{\hspace{20}\tiny H}{\iint}f(x,\hspace{2}y)dxdy$

［加法性］　各々の体積を加えると，全体の体積になる．

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