例1
１次変換
 |
x=u+v |
| y=u+2v |
すなわち，
=
のとき，
基本ベクトル =(1 , 0) が= (1 , 1) に写され，
基本ベクトル =(0 , 1) が = (1 , 2) に写されるから，
１次変換の線形性
(u+v)=u +v
=u+v
により，u+v は，u+v に写される．（右図参照） |
○ v=b （一定）となる直線の像を u-曲線といい，u=a （一定）となる直線の像を v-曲線という．u-曲線，v-曲線を xy 平面上に描けば変換の様子が分かりやすくなる．
※ u-曲線，v-曲線という名前と，一定となる変数が逆になっていることに注意．u-曲線では，変数 uのみが変化する．
xy 平面において，y=b （一定）は x 軸方向の直線となり，x=a （一定）は y 軸方向直線となることを連想すればよい．
○ １次変換では，網をゆがめた形をイメージするとよい．（次の図において返還後の網目は，幾つかのu 曲線とv 曲線）
(1,0)→(1,1), (2,0)→(2,2), (3,0)→(3,3) などと写される．
(0,1)→(1,2), (0,2)→(2,4), (0,3)→(3,6) などと写される．
(2,3)=2(1,0)+3(0,1)→2(1,1)+3(1,2)=(5,8) などと写される． |
例2
１次変換
| |
x=u - v |
| y= - u - v |
すなわち，
=
のとき，
基本ベクトル =(1 , 0) が= (1 , - 1) に写され，
基本ベクトル =(0 , 1) が = ( - 1 , - 1) に写される． |
(1,0)→(1,-1), (2,0)→(2,-2), (3,0)→(3,-3) などと写される．
(0,1)→(-1,-1), (0,2)→(-2,-2), (0,3)→(-3,-3) などと写される．
(2,3)=2(1,0)+3(0,1)→2(1,-1)+3(-1,-1)=(-1,-5) などと写される．
|
◇Jacobi行列（ヤコビ行列）◇
１次変換とは限らない一般の変換において，uv 平面上の点 (a , b) の近くにおいては，次の近似式（１次近似）が成り立つ．
x=f(u , v)≒f(a , b)+fu(a , b)(u - a)+fv(a , b)(v - b)
y=g(u , v)≒g(a , b)+gu(a , b)(u - a)+gv(a , b)(v - b)
そこで，
=
は，ほぼ１次変換と見なせる．
点 P(a , b) におけるこの行列をJacobi行列（ヤコビ行列）といい，JP で表わす．
JP=
dx=x - f(a,b) , dy=y - g(a,b) , du=u - a , dv=v - b とおくと，
=
となる． |
Jacobi行列の例
x=2u2+3v
y=4u+5v2
で表わされる変換において，点 P(1 , 1) におけるJacobi行列は，
xu=4u , xv=3 , yu=4 , yv=10v より
JP=
|
◇Jacobi行列式（ヤコビ行列式）◇
| JP| あるいは det ( JP) をJacobi行列式という．
ある変換による点 P(a , b) におけるJacobi行列式を| JP| とするとき，この変換によって，点 P(a , b) 付近の微小領域は面積が| det ( JP)| 倍の領域に写される．
（解説）
基本ベクトル =(1 , 0) , =(0 , 1) によって作られる 1×1=1 の正方形は， , によって作られる平行四辺形に写されるから，右のように，面積は| det ( JP)| 倍となっている． |
２つのベクトル =(a,b) , =(c , d) で作られる平行四辺形の面積を求めると，
図の水色で示した三角形の面積は，
(a+c)(b+d) - bc - ab - cd=(ad - bc)
だから，平行四辺形=(ad - bc)=
負の値をとることもあるので，絶対値を付けると |ad - bc| |
